Qué es Ray Tracing y cuáles son las matemáticas que hay detrás

Estoy seguro de que muchos de ustedes han escuchado sobre el Ray Tracing, y cómo esta tecnología ha revolucionado el mundo del cine y de los videojuegos. Pero, ¿qué es el Ray Tracing y cómo funciona?

En este artículo, vamos a explorar las matemáticas básicas del funcionamiento del Ray Tracing. No se preocupen, nada será excesivamente técnico o matemático; sin embargo, al finalizar la lectura, tendrán un mejor entendimiento de lo que está ocurriendo.

Entonces, ¿Qué es Ray Tracing?

Primero, hablemos sobre nuestro sentido de la vista. (Por favor, disculpen mis deficientes dibujos).

Figura 1

Todo empieza con la luz. La luz pasa a través de la córnea y parte de ella entra por la pupila. Esos lentes que se ven en la imagen enfocan la luz en la retina, donde impacta. La retina posee células fotorreceptoras donde se empiezan a dibujar los pincelazos, por medio de señales eléctricas que después el cerebro usa para convertir en imágenes. Esta explicación está lejos de ser médica o biológicamente exacta, pero nos será útil para lo que veremos a continuación

Un ray (rayo) de luz es proyectado desde el ambiente hasta nuestro ojo, donde este realiza su función, y esos rays llegan a la retina para mapear la imagen.

¿Qué pasaría si pudiéramos construir un ojo que, en vez de atrapar esos rayos, pudiese lanzar haces de luz hacia el ambiente?

Usemos nuestra imaginación. Vamos a concebir esta “retina” (la cual tiene los fotorreceptores que detectan la luz al llegar) como una cuadrícula de N x N (Cuadrícula de dos dimensiones). Y, en lugar de detectar los rays en las celdas de la cuadrícula, imaginemos que los lanzamos hacia el ambiente.

Figura 2

Ahora nuestra retina imaginaria, nuestra cuadrícula, está lanzando rayos. Cada celda proyecta un rayo, y cada rayo (ray, de ahora en adelante usaré ray en vez de rayo) está buscando algo. Está tratando de impactar algo. Si lo golpea, entonces la celda sabe que hay algo allí y puede pintar en sí misma un pincelazo. Si el ray no impacta nada, entonces la celda se mantiene vacía. De ahora en adelante, llamemos a estas celdas: píxeles.

Al añadir un punto de vista (Point of view), los rays salen de cada píxel, y poco a poco, los píxeles cuyos rayos impactaron algún objeto empiezan a dibujar la imagen.

Figura 3

Con esto, ya tenemos la idea de lo que es ray tracing, ¿cierto? Es una técnica para crear imágenes (y puede crear reflejos, refracciones y sombras…) que proyecta y rastrea estos rays a través de píxeles (la cuadrícula de dos dimensiones) hacia un entorno tridimensional.

Exploremos las matemáticas

Quizá ahora se estén preguntando... ¿cómo es que un píxel sabe que su ray ha golpeado algo? Usaré un ejemplo bidimensional (2D) porque simplifica los cálculos y facilita la comprensión, aunque las fórmulas son igualmente aplicables a tres dimensiones (3D).

Comencemos por introducir un concepto: Algunas geometrías tienen funciones simples para que estas puedan ser dibujadas en un plano cartesiano. La función para dibujar un círculo en el centro de un plano cartesiano es:

x² + y² = r²;

Donde r es el radio.

Tal vez sea más fácil de ver si despejamos la función para y. Por lo tanto:

y = ±√(r² − x²);

Quizás se pregunten qué significa ese símbolo raro de más-menos (±). Recordemos que la raíz cuadrada de un valor puede ser positiva y negativa. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 puede ser -2 o 2.

Así, si definimos un radio, digamos de 1 unidad, y otorgamos diferentes valores a x, veremos cómo el círculo empieza a aparecer en el plano cartesiano. Si quieres intentar, hazlo en desmos, https://www.desmos.com/calculator, que es una muy buena calculadora gráfica.

Figura 4

Adentrándonos en la ray equation

A continuación, introduciremos otro concepto. No hay de qué preocuparse, es muy simple. Esta es la ecuación de un ray:

R(t) = O + tD;

Donde la R es el ray, la O es el origen y la D es la dirección. Rememoremos la explicación con la que comenzamos. En el ray tracing, el ojo lanza un ray, y este tiene un origen y una dirección. Recordemos la figura 3 y cómo se ven flechas saliendo del ojo hacia el pino.

Solo falta una cosa: ¿Qué es la t? Podemos decir que la t representa el punto en el que el rayo choca con la figura.

Analicemos esto con calma:

Supongamos que tenemos el mismo círculo del que hablamos arriba, que tiene un radio de 1. Asumamos que tenemos el origen del ojo en el punto (1, 1) yendo hacia la dirección (-1, -1), que corresponde al cuadrante inferior izquierdo. ¿Cómo podemos saber si el ray chocará con el círculo?

Es muy simple. La t representa el punto en el cual el ray choca con la figura. Si la t es negativa o si no es un número real, entonces no lo consideramos un choque.

Por lo tanto, solo necesitamos resolver la ecuación del ray para t.

Procedamos paso a paso para no confundirnos.

Recordemos que la ecuación del círculo es:

x² + y² = r²;

Si el radio es de 1, entonces:

x² + y² = 1;

Paso 1: Preparando la ray equation

Ahora, veamos la ecuación del ray. Se preguntarán, si el origen es (1, 1) y la dirección es (-1, -1), ¿cómo podemos incluir eso en la ecuación? Debemos hacer lo siguiente:

Rₓ(t) = Oₓ + tDₓ;

Rᵧ(t) = Oᵧ + tDᵧ;

Efectivamente, se desdobla en componentes X e Y, lo cual se traduce a:

Rₓ(t) = 1 + t(−1) = 1 − t;

Rᵧ(t) = 1 + t(−1) = 1 − t;

A continuación, sustituimos esto en la ecuación del círculo:

(1 − t)² + (1 − t)² = 1;

¿Por qué hacemos esto? Básicamente, lo que queremos saber son qué valores de t producen los valores “x" , “y" de tal manera que el ray choque con el círculo. Queremos encontrar el valor de t que produce uno de estos puntos que dibujan la circunferencia del círculo. Observemos la figura 5.

Paso 2: Despejando la "t"###

Como mencionamos, solo necesitamos despejar 't'.

(1 − t)² + (1 − t)² = 1;

Luego:

2(1 − t)² = 1;

Así:

(1 − t)² = 1/2;

Por lo tanto:

(1 − t) = ±√(1/2);

Recordemos que al resolver una raíz cuadrada tenemos un resultado positivo y uno negativo.

(1 − t) = ±1 / √2;

Finalmente:

t = 1 ± (1 / √2);

Lo cual significa,

t = 1 + 0.7071;

t = 1 − 0.7071;

Resultando en:

t = 1.7071;
t = 0.292803;

Paso 3: Vamos a resolver la ecuación

Tenemos dos resultados. Esto indica que el ray chocó con el círculo dos veces.

Entonces, nuestro ray impactó el círculo 2 veces. Usualmente en ray tracing, se toma la t de menor valor, lo cual significa que ese choque ocurrió primero y que la superficie del segundo objeto está obstruida por el primero, lo que implica que técnicamente no es visible (el segundo objeto se encuentra tras el primero). No obstante, para este ejemplo, calcularemos con ambas t.

Recordemos las ecuaciones del ray:

Rₓ(t) = Oₓ + tDₓ;

Rᵧ(t) = Oᵧ + tDᵧ;

Donde O = (1, 1) y D = (-1, -1);

Para:

t = 0.292803;

Rₓ(t) = 1 + (0.292803)(−1) = 0.7071;

Rᵧ(t) = 1 + (0.292803)(−1) = 0.7071;

Esto significa que tuvimos un hit en el punto (0.7071, 0.7071).

Y para:

t = 1.7071;

Rₓ(t) = 1 + (1.7071)(−1) = − 0.7071;

Rᵧ(t) = 1 + (1.7071)(−1) = − 0.7071;

Lo que resulta en un segundo impacto (hit) en el punto (-0.7071, -0.7071). Veamos cómo se visualiza esto en Desmos:

Figura 6

¡Y estamos en lo cierto! Pudimos calcular si el ray golpeó la superficie y dónde lo hizo, y lo hicimos todo con matemáticas.

Conclusión

Espero que, tras leer esto, ustedes sepan ahora un poco más sobre ray tracing. Como se explicó en la primera parte de esta publicación, ray tracing es una técnica muy usada en computación gráfica. El método consiste, esencialmente, en proyectar rays desde una cuadrícula y determinar si estos se intersecan con algún objeto.

Además, espero que también entiendan mejor un poquito más sobre las matemáticas detrás de esta técnica. Claro que existen muchas más consideraciones, como optimización, sombras, etc… Pero por ahora, esto fue suficiente para entender lo básico.